SOAL PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN RASIONAL DAN IRASIONAL

Tentukan himpunan penyelesaian dari $\frac{2-x}{x+1}<0$.
Penyelesaian:
$\frac{2-x}{x+1}<0$
Pembuat nol:
Pembilang: $2-x=0\iff x=2$
Penyebut: $x+1=0\iff x=-1$
Garis bilangan:
Pada titik $x=2$ kita tuliskan bulatan kosong karena pada soal tidak memuat tanda sama dengan (=).
Pada titik $x=-1$ kita tuliskan bulatan kosong karena diperoleh dari penyebut.

Garis bilangan terbagi menjadi 3 daerah yaitu: $x<-1$, $-1<x<2$, dan $x>2$.
Ambil masing-masing satu titik uji dari setiap daerah, kemudian uji ke pertidaksamaan $\frac{2-x}{x+1}<0$.
Untuk daerah $x<-1$ ambil $x=-2$
$\begin{array}{rl}\frac{2-x}{x+1}& <0\\ \frac{2-(-2)}{(-2)+1}& <0\\ -4<0\end{array}$
(memenuhi = M)

Untuk daerah $-1<x<2$ ambil $x=0$
$\begin{array}{rl}\frac{2-x}{x+1}& <0\\ \frac{2-0}{0+1}& <0\\ 2& <0\end{array}$
(tidak memenuhi = TM)

Untuk daerah $x>2$ ambil $x=3$
$\begin{array}{rl}\frac{2-x}{x+1}& <0\\ \frac{2-3}{3+1}& <0\\ -\frac{1}{4}& <0\end{array}$
(memenuhi = M)

HP = {$x<-1$ atau $x>2$}
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $\frac{x^2-9x}{x+3}=\frac{36}{x+3}$ adalah ...
Penyelesaian:
$\begin{array}{rl}\frac{x^2-9x}{x+3}& =\frac{36}{x+3}\\ \frac{x^2-9x}{x+3}-\frac{36}{x+3}& =0\\ \frac{x^2-9x-36}{x+3}& =0\\ \frac{(x-12)(x+3)}{x+3}& =0\end{array}$
Syarat:
$x+3=0\iff x=-3$
Solusi:
$x-12=0\iff x=12$ (memenuhi syarat)
$x+3=0\iff x=-3$ (tidak memenuhi syarat).
HP = {12}
 Contoh 7.

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\sqrt{7x-1}<-4$.
Penyelesaian:
$\sqrt{7x-1}<-4\iff \sqrt{f(x)}\le c$; $c=-4\iff c<0$
HP = { }

e) Bentuk $\sqrt{f(x)}\le \sqrt{g(x)}$
Solusi:
1) $f(x)\ge 0$
2) $g(x)\ge 0$
3) ${\left(\sqrt{f(x)}\right)}^2\le {\left(\sqrt{g(x)}\right)}^2$

Contoh 8.
Tentukan nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\sqrt{6-x}<\sqrt{2x+8}$.
Penyelesaian:
$\sqrt{6-x}<\sqrt{2x+8}\iff \sqrt{f(x)}\le \sqrt{g(x)}$
1) $f(x)\ge 0$ maka:
$\begin{array}{rl}6-x& \ge 0\\ -x& \ge -6\\ x& \le 6\end{array}$
2) $g(x)\ge 0$ maka:
$\begin{array}{rl}2x+8& \ge 0\\ 2x& \ge -8\\ x& \ge -4\end{array}$
3) ${\left(\sqrt{f(x)}\right)}^2<{\left(\sqrt{g(x)}\right)}^2$ maka:
$\begin{array}{rl}{\left(\sqrt{6-x}\right)}^2& <{\left(\sqrt{2x+8}\right)}^2\\ 6-x& <2x+8\\ -3x& <2\\ x& >-\frac{2}{3}\end{array}$
4) Garis bilangan:

5) Himpunan penyelesaian (HP) = $\{-\frac{2}{3}<x\le 6\}$.

f) Bentuk $\sqrt{f(x)}\ge \sqrt{g(x)}$
Solusi:
1) $f(x)\ge 0$
2) $g(x)\ge 0$
3) ${\left(\sqrt{f(x)}\right)}^2\ge {\left(\sqrt{g(x)}\right)}^2$

Contoh 9.
Tentukan nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\sqrt{2x+1}>\sqrt{3-x}$.
Penyelesaian:
1) $f(x)\ge 0$ maka:
$\begin{array}{rl}2x+1& \ge 0\\ 2x& \ge -1\\ x& \ge -\frac{1}{2}\end{array}$
2) $g(x)\ge 0$ maka:
$\begin{array}{rl}3-x& \ge 0\\ -x& \ge -3\\ x& \le 3\end{array}$
3) ${\left(\sqrt{f(x)}\right)}^2>{\left(\sqrt{g(x)}\right)}^2$ maka:
$\begin{array}{rl}{\left(\sqrt{2x+1}\right)}^2& >{\left(\sqrt{3-x}\right)}^2\\ 2x+1& >3-x\\ 3x& >2\\ x& >\frac{2}{3}\end{array}$
4) Garis bilangan:

5) Himpunan penyelesaian (HP) = $\{x|\frac{2}{3}<x\le 3\}$.

g) Bentuk $\sqrt{f(x)}\le g(x)$
Solusi:
1) $f(x)\ge 0$
2) $g(x)\ge 0$
3) ${\left(\sqrt{f(x)}\right)}^2\le {(g(x))}^2$

Contoh 10.
Tentukan nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $5x+\sqrt{10x-25}<20$.
Penyelesaian:
$\begin{array}{rl}5x+\sqrt{10x-25}& <20\\ \sqrt{10x-25}& <20-5x\\ \sqrt{f(x)}& <g(x)\end{array}$
1) $f(x)\ge 0$ maka:
$\begin{array}{rl}10x-25& \ge 0\\ 10x& \ge 25\\ x& \ge \frac{25}{10}\\ x& \ge \frac{5}{2}\end{array}$
2) $g(x)\ge 0$ maka:
$\begin{array}{rl}20-5x& \ge 0\\ -5x& \ge -20\\ x& \le 4\end{array}$
3) ${\left(\sqrt{f(x)}\right)}^2<{(g(x))}^2$ maka:
$\begin{array}{rl}{\left(\sqrt{10x-25}\right)}^2& <{(20-5x)}^2\\ 10x-25& <400-200x+25x^2\\ -25x^2+210x-425& <0\\ 5x^2-42x+85& >0\\ (5x-17)(x-5)& >0\end{array}$
$x<\frac{17}{5}$ atau $x>5$
4) Garis bilangan:

5) Himpunan penyelesaian (HP) = $\{x|\frac{5}{2}\le x<\frac{17}{5}\}$.

h) Bentuk $\sqrt{f(x)}\ge g(x)$.
Solusi 1:
1) $f(x)\ge 0$
2) $g(x)\ge 0$
3) ${\left(\sqrt{f(x)}\right)}^2\ge {(g(x))}^2$
Solusi 2:
1) $f(x)\ge 0$
2) $g(x)<0$ HP = Solusi 1 atau solusi 2 
Contoh 1.
Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan $\sqrt{x+2}=5$.
Penyelesaian:
$\sqrt{x+2}=5\iff \sqrt{f(x)}=c$
1) Syarat:
$\begin{array}{rl}f(x)& \ge 0\\ x+2& \ge 0\\ x& \ge -2\end{array}$
2) Solusi (kuadratkan kedua ruas)
$\begin{array}{rl}\sqrt{x+2}& =5\\ x+2& =5^2\\ x+2& =25\\ x& =23(\text{memenuhi}\text{syarat})\end{array}$
3) HP = {23}

b) Bentuk $\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}$ dengan syarat $f(x)\ge 0\cap g(x)\ge 0$.

Contoh 2.
Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan $\sqrt{5x-1}=\sqrt{3-2x}$.
Penyelesaian:
$\sqrt{5x-1}=\sqrt{3-2x}\iff \sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}$
1) Syarat:
$\begin{array}{rl}f(x)& \ge 0\\ 5x-1& \ge 0\\ 5x& \ge 1\\ x& \ge \frac{1}{5}\end{array}$
$\begin{array}{rl}g(x)& \ge 0\\ 3-2x& \ge 0\\ -2x& \ge -3\\ x& \le \frac{3}{2}\end{array}$
$f(x)\ge 0\cap g(x)\ge 0$ = $\frac{1}{5}\le x\le \frac{3}{2}$.
2) Solusi (kuadratkan kedua ruas)
$\begin{array}{rl}\sqrt{5x-1}& =\sqrt{3-2x}\\ 5x-1& =3-2x\\ 7x& =4\\ x& =\frac{4}{7}(\text{memenuhi}\text{syarat})\end{array}$
3) HP = $\left\{\frac{4}{7}\right\}$

c) Bentuk $\sqrt{f(x)}=g(x)$ dengan syarat $f(x)\ge 0\cap g(x)\ge 0$.

Contoh 3.
Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan $\sqrt{2x+3}=x$.
Penyelesaian:
1) Syarat:
$\begin{array}{rl}f(x)& \ge 0\\ 2x+3& \ge 0\\ 2x& \ge -3\\ x& \ge -\frac{3}{2}\end{array}$
$\begin{array}{rl}g(x)& \ge 0\\ x& \ge 0\end{array}$
$f(x)\ge 0\cap g(x)\ge 0$ = $x\ge 0$.
2) Solusi (kuadratkan kedua ruas)
$\begin{array}{rl}\sqrt{2x+3}& =x\\ 2x+3& =x^2\\ x^2-2x-3& =0\\ (x+1)(x-3)& =0\end{array}$
$x=-1$ (tidak memenuhi syarat)
$x=3$ (memenuhi syarat)
3) HP = {3}