LUAS SEGITIGA DENGAN TRIGONOMETRI, ATURAN SINUS DAN ATURAN COSINUS

Aturan Sinus dan Aturan Cosinus merupakan dua aturan yang menghubungkan panjang sisi dan besar sudut dalam segitiga sembarang dengan menggunakan konsep trigonometri. Sesuai dengan namanya, Aturan Sinus melibatkan fungsi sinus, sama halnya dengan Aturan Cosinus. Selain itu, luas segitiga ternyata dapat ditentukan dengan menggunakan bantuan trigonometri, yaitu didasarkan pada besar sudut dan panjang dua sisi yang mengapitnya.

Aturan Sinus

Aturan Sinus (Law of Sines atau Sines Law/Rule) adalah teorema berupa persamaan yang menghubungkan nilai sinus sudut dalam segitiga dengan panjang sisi di depannya dalam bentuk perbandingan.
Jika diberikan segitiga sembarang $ABC$ seperti gambar, maka berlaku persamaan berikut.
$$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{\sin A}}={\displaystyle \frac{b}{\sin B}}={\displaystyle \frac{c}{\sin C}}=2R}}$$dengan $R$ adalah panjang jari-jari lingkaran luar segitiga $ABC$.

Aturan Cosinus

Aturan Cosinus (Law of Cosines atau Cosines Formula/Rule) adalah teorema yang digunakan untuk menentukan panjang sisi depan suatu sudut dengan menggunakan hubungan dua panjang sisi pengapit sudut tersebut dan nilai cosinusnya.

$$\begin{array}{rl}{a}^2& =b^2+c^2-2bc\cos \alpha \\ b^2& =a^2+c^2-2ac\cos \beta \\ c^2& =a^2+b^2-2ab\cos \gamma \end{array}$$

Aturan Luas Segitiga dalam Trigonometri

Misalkan $\mathrm{△}ABC$ segitiga sembarang seperti gambar.
Dengan demikian, luas $\mathrm{△}ABC$ dapat dihitung dengan rumus berikut apabila diketahui panjang dua sisi segitiga beserta besar sudut pengapitnya.
$\begin{array}{rl}{L}_{\mathrm{△}ABC}& ={\displaystyle \frac{1}{2}}ab\sin C\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}bc\sin A\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}ac\sin B\end{array}$
Luas segitiga juga dapat dihitung bila diketahui panjang satu sisi dan besar tiga sudutnya.
$\begin{array}{rl}{L}_{\mathrm{△}ABC}& ={\displaystyle \frac{a^2\sin B\sin C}{2\sin A}}\\ & ={\displaystyle \frac{b^2\sin A\sin C}{2\sin B}}\\ & ={\displaystyle \frac{c^2\sin A\sin B}{2\sin C}}\end{array}$

Untuk memahami lebih dalam mengenai materi ini, berikut disediakan soal dan pembahasannya. Semoga bermanfaat!

Soal Nomor 1
Diketahui $\mathrm{△}ABC$ dengan panjang sisi $a=4\text{cm}$, $\mathrm{\angle }A={120}^{\circ }$, dan $\mathrm{\angle }B={30}^{\circ }$. Panjang sisi $c=\cdots \cdot$
A. $2\sqrt{2}\text{cm}$                  D. ${\displaystyle \frac{3}{4}}\sqrt{2}\text{cm}$
B. ${\displaystyle \frac{4}{3}}\sqrt{3}\text{cm}$                 E. $\sqrt{3}\text{cm}$
C. ${\displaystyle \frac{3}{4}}\sqrt{3}\text{cm}$

Pembahasan

Soal Nomor 2
Pada $\mathrm{△}JKL$, diketahui $\sin L={\displaystyle \frac{1}{3}}$, $\sin J={\displaystyle \frac{3}{5}}$, dan $JK=5$ cm. Panjang $KL$ adalah $\cdots \text{cm}$.
A. $5$                      C. $9$                      E. $15$
B. $7$                      D. $12$

Pembahasan

Soal Nomor 3
Perhatikan gambar $\mathrm{△}ABC$ di bawah ini.
Perbandingan panjang $BC$ dan $AC$ adalah $\cdots \cdot$
A. $3:4$
B. $4:3$
C. $\sqrt{2}:\sqrt{3}$
D. $\sqrt{3}:2\sqrt{2}$
E. $\sqrt{3}:\sqrt{2}$

Soal Nomor 4
Pada $\mathrm{△}ABC$, diketahui $(b+c):(c+a):(a+b)$ $=4:5:6$. Nilai dari $\sin A:\sin B:\sin C=\cdots \cdot$
A. $7:5:3$                     D. $4:5:6$
B. $3:5:7$                     E. $6:5:4$
C. $7:3:5$

Pembahasan

Soal Nomor 5
Pada $\mathrm{△}ABC$, diketahui bahwa $\mathrm{\angle }B={70}^{\circ }$, $\mathrm{\angle }C={80}^{\circ }$, dan $BC=2$ cm. Jika $R$ adalah panjang jari-jari lingkaran luar segitiga $ABC$, maka nilai $R=\cdots \text{cm}$.
A. $1$                     C. $4$                    E. $10$
B. $2$                     D. $8$

Pembahasan

Soal Nomor 6
Panjang sisi-sisi pada $\mathrm{△}ABC$ berbanding $6:5:4$. Cosinus sudut yang terbesar dari segitiga tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. ${\displaystyle \frac{1}{2}}$                     C. ${\displaystyle \frac{3}{4}}$                E. ${\displaystyle \frac{5}{6}}$
B. ${\displaystyle \frac{2}{3}}$                     D. ${\displaystyle \frac{4}{5}}$        

Pembahasan

Soal Nomor 7
Jika panjang sisi-sisi segitiga $ABC$ berturut-turut adalah $AB=4\text{cm}$, $BC=6\text{cm}$, dan $AC=5\text{cm}$, sedangkan $\mathrm{\angle }BAC=\alpha ,$ $\mathrm{\angle }ABC=\beta ,$ dan $\mathrm{\angle }BCA=\gamma ,$ maka $\sin \alpha :\sin \beta :\sin \gamma =\cdots \cdot$
A. $4:5:6$                D. $4:6:5$
B. $5:6:4$                E. $6:4:5$
C. $6:5:4$

Pembahasan

Soal Nomor 8
Dalam sebuah lingkaran yang berjari-jari $8\text{cm}$ dibuat segi-$12$ beraturan. Panjang sisi segi-12 beraturan tersebut adalah $\cdots \text{cm}$.
A. $8\sqrt{2-\sqrt{3}}$          
B. $8\sqrt{2-\sqrt{2}}$          
C. $8\sqrt{3-\sqrt{2}}$
D. $8\sqrt{3-\sqrt{3}}$
E. $8\sqrt{3+\sqrt{2}}$

Pembahasan

Nilai $\cos \theta$ pada gambar di bawah adalah $\cdots \cdot$
A. $-1$                    C. $-{\displaystyle \frac{2}{3}}$                  E. ${\displaystyle \frac{2}{3}}$
B. $-{\displaystyle \frac{5}{7}}$                  D. $1$       

Pembahasan

Soal Nomor 10
Perhatikan gambar segi empat $PQRS$ berikut.
Panjang $RS=\cdots \cdot$
A. $6\sqrt{2}\text{cm}$                  D. $9\sqrt{2}\text{cm}$
B. $6\sqrt{3}\text{cm}$                  E. $9\sqrt{3}\text{cm}$
C. $12\text{cm}$

Pembahasan

Soal Nomor 11
Pada segitiga $ABC$, diketahui panjang sisi $AB=15$ cm, $BC=14$ cm, dan $AC=13$ cm. Nilai $\tan C=\cdots \cdot$
A. ${\displaystyle \frac{5}{13}}$                 C. ${\displaystyle \frac{12}{13}}$                E. ${\displaystyle \frac{13}{12}}$
B. ${\displaystyle \frac{5}{12}}$                 D. ${\displaystyle \frac{12}{5}}$

Pembahasan

Soal Nomor 12
Luas segi-$12$ beraturan dengan masing-masing panjang sisinya $4\text{cm}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $(96+48\sqrt{3}){\text{cm}}^2$           
B. $(24+12\sqrt{3}){\text{cm}}^2$           
C. $(24\sqrt{3}+12){\text{cm}}^2$
D. $(96\sqrt{3}+48){\text{cm}}^2$
E. $(96\sqrt{3}+12){\text{cm}}^2$

Pembahasan

Soal Nomor 13
Jika dalam segitiga $ABC$ berlaku hubungan $a^2(1+\cos A)=2bc{\sin }^{2}A$, maka segitiga $ABC$ berbentuk $\cdots \cdot$
A. segitiga sama sisi
B. segitiga siku-siku
C. segitiga sama kaki
D. segitiga sembarang
E. segitiga tumpul

Pembahasan

Soal Nomor 14
Luas segi empat $ABCD$ pada gambar di bawah adalah $\cdots {\text{cm}}^2$.
A. $(72+50\sqrt{3})$               D. $(36+50\sqrt{3})$
B. $(72+25\sqrt{3})$               E. $(36+25\sqrt{3})$
C. $74$

Pembahasan

Soal Nomor 15
Sebuah mobil melaju dari tempat $A$ sejauh $16\text{km}$ dengan arah ${40}^{\circ }$, kemudian berbelok sejauh $24\text{km}$ ke tempat $B$ dengan arah ${160}^{\circ }$. Jarak $A$ dan $B$ adalah $\cdots \cdot$
A. $21\text{km}$                    D. $32\text{km}$
B. $8\sqrt{7}\text{km}$                E. $8\sqrt{19}\text{km}$
C. $8\sqrt{10}\text{km}$

Pembahasan

Soal Nomor 16
Keliling suatu segi enam beraturan adalah $84\text{cm}$. Luas segi enam tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $588\sqrt{3}{\text{cm}}^2$             D. $245\sqrt{3}{\text{cm}}^2$
B. $392\sqrt{3}{\text{cm}}^2$             E. $147\sqrt{3}{\text{cm}}^2$
C. $294\sqrt{3}{\text{cm}}^2$

Pembahasan

Soal Nomor 17
Luas segi-$12$ beraturan dengan masing-masing panjang sisinya $4\text{cm}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $(96+48\sqrt{3}){\text{cm}}^2$
B. $(24+12\sqrt{3}){\text{cm}}^2$
C. $(24\sqrt{3}+12){\text{cm}}^2$
D. $(96\sqrt{3}+48){\text{cm}}^2$
E. 

Pembahasan

Soal Nomor 18
Sebuah kapal berlayar dari Pelabuhan A ke Pelabuhan B sejauh $200$ mil dengan arah ${35}^{\circ }$. Dari Pelabuhan B, kapal itu berlayar sejauh $300$ mil menuju Pelabuhan C dengan arah ${155}^{\circ }$. Jarak antara Pelabuhan A ke Pelabuhan C adalah $\cdots$ mil. 
A. $100\sqrt{2}$                  D. $100\sqrt{13}$
B. $100\sqrt{3}$                  E. $100\sqrt{19}$
C. $100\sqrt{7}$

Pembahasan

Soal Nomor 19
Sebuah kapal laut berlayar ke arah timur sejauh $120$ km, kemudian memutar kemudi pada jurusan ${60}^{\circ }$ sejauh $100$ km hingga berhenti. Jarak kapal dari mula-mula titik berlayar ke tempat pemberhentian adalah $\cdots$ meter.
A. $25\sqrt{50}$                       D. $27\sqrt{66}$
B. $20\sqrt{91}$                       E. $24\sqrt{70}$
C. $24\sqrt{66}$

Pembahasan

Soal Nomor 20
Sukardi dan Lili berdiri di suatu pantai dengan terpisah jarak $6$ km antara keduanya. Garis pantai yang melalui mereka berupa garis lurus. Keduanya dapat melihat kapal laut yang sama dari tempat mereka berdiri. Misalkan sudut antara tempat Sukardi berdiri dengan kapal laut yang merupakan garis lurus adalah ${45}^{\circ }$. Sementara itu, sudut antara tempat Lili berdiri dengan kapal laut yang merupakan garis lurus adalah ${15}^{\circ }$. Jika jarak kapal laut dengan tempat Lili berdiri adalah $a\sqrt{b}$ km, dengan $a\sqrt{b}$ adalah bentuk akar paling sederhana, maka nilai $b-a=\cdots \cdot$
A. $0$                       C. $3$                      E. $6$
B. $2$                       D. $4$

Pembahasan

Soal Nomor 21
Sebuah mobil melaju dari tempat A sejauh $16$ km dengan arah ${40}^{\circ }$, kemudian berbelok sejauh $24$ km ke tempat B dengan arah ${160}^{\circ }$. Jarak A dan B adalah $\cdots$ km. 
A. $21$                                D. $32$
B. $8\sqrt{7}$                            E. $8\sqrt{19}$
C. $8\sqrt{10}$

Pembahasan

Soal Nomor 22
Diberikan segitiga $ABC$ siku-siku di $C$. Titik $D$ terletak pada sisi $AC$ sedemikian sehingga garis $BD$ membagi dua sudut $ABC$ sama besar. Diketahui panjang $AB=3$ dan luas segitiga $ABD$ sama dengan $9$. Panjang sisi $CD$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $4$                    C. $7$                 E. $9$
B. $6$                    D. $8$

Pembahasan

Soal Nomor 23
Diketahui $a,b,c$ masing-masing adalah panjang sisi segitiga $ABC$. Jika $(a+b+c)(a-b+c)=3ac$, maka besarnya sudut yang menghadap sisi $b$ adalah $\cdots \cdot$
A. ${30}^{\circ }$                C. ${60}^{\circ }$                E. ${90}^{\circ }$
B. ${45}^{\circ }$                D. ${75}^{\circ }$

Pembahasan

Soal Nomor 24
Sebuah heksagon (segi enam) diposisikan di dalam segitiga siku-siku seperti gambar berikut.
Berapakah luas heksagon tersebut?
A. $60$                      D. $120$
B. $80$                      E. $180$
C. $100$

Pembahasan

Soal Nomor 25
Diberikan segitiga $ABC$ dengan titik $D$ pada $AB$ dan titik $E$ pada $AC$ sehingga terbentuk ruas garis $DE.$ Jika $AD=5,$ $DB=3,$ $EC=6,$ $AE=4,$ dan $BC=8,$ maka panjang ruas garis $DE$ adalah $\cdots \cdot$
A. $4$                     C. $6$                 E. $8$
B. $5$                     D. $7$

Pembahasan

Soal Nomor 26
Pada gambar di bawah, terdapat dua persegi dengan panjang sisi masing-masing $4$ cm dan $5$ cm, sebuah segitiga dengan luas $8{\text{cm}}^2,$ dan jajaran genjang yang terarsir. Luas jajaran genjang itu adalah $\cdots \cdot$
A. $15{\text{cm}}^2$                      D. $20{\text{cm}}^2$
B. $16{\text{cm}}^2$                      E. $22{\text{cm}}^2$
C. $18{\text{cm}}^2$

Pembahasan

Bagian Uraian

Soal Nomor 1
Pada suatu segitiga $ABC$, besar $\mathrm{\angle }C$ tiga kali besar $\mathrm{\angle }A$ dan besar $\mathrm{\angle }B$ dua kali besar $\mathrm{\angle }A$. Berapakah perbandingan panjang $AB$ dan $BC$?

Pembahasan

Soal Nomor 2
Diketahui $\mathrm{△}ABC$ dengan $a+c=12$ cm dan $b+c=13$ cm, serta $\mathrm{\angle }A={60}^{\circ }$. Tentukan nilai $a$.

Pembahasan

Soal Nomor 3
Buktikan bahwa dalam segitiga sembarang $ABC$ berlaku ${\displaystyle \frac{a-b}{c}}={\displaystyle \frac{\sin A-\sin B}{\sin C}}$.

Pembahasan

Soal Nomor 4
Buktikan bahwa luas segi empat tali busur $ABCD$ pada gambar di bawah adalah $L={\displaystyle \frac{1}{2}}(ab+cd)\sin \theta$

Pembahasan

Soal Nomor 5
Pada gambar di bawah, $ABCD$ adalah segi empat tali busur lingkaran (besar sudut yang berhadapan jumlahnya ${180}^{\circ }$). Buktikan bahwa
$\cos \theta ={\displaystyle \frac{c^2+d^2-a^2-b^2}{2(ab+cd)}}$

Pembahasan

Soal Nomor 6
Diketahui $\mathrm{△}ABC$ dengan $CD$ adalah garis berat, yaitu garis yang membagi dua sama panjang sisi $AB$. Dengan menggunakan Aturan Cosinus, buktikan bahwa:
a. $C{D}^2={\displaystyle \frac{1}{2}}{a}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}{b}^2-{\displaystyle \frac{1}{4}}{c}^2$
b. $4C{D}^2=a^2+b^2+2ab\cos C$

Pembahasan

Soal Nomor 7
Buktikan bahwa luas segi empat $ABCD$ sembarang pada gambar di bawah adalah $L={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot AC\cdot BD\cdot \sin \theta .$

Pembahasan

Soal Nomor 8
Pada $\mathrm{△}ABC$ sembarang, buktikan bahwa
$$c({\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B)=\sin C(a\cdot \sin A+b\cdot \sin B)$$

Pembahasan

Soal Nomor 9
Pada $\mathrm{△}ABC,$ diketahui perbandingan panjang$$a:b:c=2:\sqrt{6}:(\sqrt{3}+1).$$Tentukan besar sudut $A,B,$ dan